L'objectif de cet exercice est d'écrire deux fonctions récursives dec_to_bin et bin_to_dec assurant respectivement la conversion de l'écriture décimale d'un nombre entier vers son écriture en binaire et, réciproquement, la conversion de l'écriture en binaire d'un nombre vers son écriture décimale.

Dans cet exercice, on s'interdit l'usage des fonctions Python bin et int.

L'exemple suivante montre comment obtenir l'écriture en binaire du nombre 25 :

$$ \begin{array}{rcl} 25 & = & 2 \times 12 + 1 \\ &=& 2 \times (2 \times 6 + 0) + 1 \\ &=& 2 \times (2 \times (2 \times 3 + 0) + 0) + 1 \\ &=& 2 \times (2 \times (2 \times (2 \times 1 + 1) + 0) + 0) + 1 \\ &=& 2 \times (2 \times (2 \times (2 \times (2 \times 0 + 1) + 1) + 0) + 0) + 1 \\ &=& 1 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 \\ &=& \overline{11001}_2 \end{array}$$

L'écriture binaire de 25 est donc 11001.

On rappelle également que

• l'expression a // 2 calcule le quotient de la division euclidienne de a par 2 ;
• l'expression a % 2 calcule le reste dans la division euclidienne de a par 2.

On indique enfin qu'en Python si mot = "informatique", alors

• l'expression mot[-1] vaut 'e', c'est-à-dire le dernier caractère de la chaîne de caractères mot ;
• l'expression mot[:-1] vaut 'informatiqu' , c'est-à-dire l'ensemble de la chaîne de caractères mot privée de son dernier caractère.

Compléter, puis tester, le code des deux fonctions situées à la page suivante.

On précise que la fonction récursive dec_to_bin prend en paramètre un nombre entier et renvoie une chaîne de caractères contenant l'écriture en binaire du nombre passé en paramètre.

Exemple :

>>> dec_to_bin(25)
'11001'

La fonction récursive bin_to_dec prend en paramètre une chaîne de caractères représentant l'écriture d'un nombre en binaire et renvoie l'écriture décimale de ce nombre.

>>> bin_to_dec('101010')
42

def dec_to_bin(nb_dec):
    q, r = nb_dec // 2, nb_dec % 2
    if q == ...: 
        return ... 
    else:
        return dec_to_bin(...) + ... 

def bin_to_dec(nb_bin):
    if len(nb_bin) == 1:
        if ... == '0': 
            return 0
        else:
            return ... 
    else:
        if nb_bin[-1] == '0':
            bit_droit = 0
        else:
            ...
        return ... * bin_to_dec(nb_bin[:-1]) + ... 

>>> dec_to_bin(25)
'11001'

>>> bin_to_dec('101010')
42

def dec_to_bin(nb_dec):
    q, r = nb_dec // 2, nb_dec % 2
    if q == ...: 
        return ... 
    else:
        return dec_to_bin(...) + ... 

def bin_to_dec(nb_bin):
    if len(nb_bin) == 1:
        if ... == '0': 
            return 0
        else:
            return ... 
    else:
        if nb_bin[-1] == '0':
            bit_droit = 0
        else:
            ...
        return ... * bin_to_dec(nb_bin[:-1]) + ...